\chapter{2012年，麦克劳林椭球体模型}
\section{旋转流体行星麦克劳林球模型的引力场}
孔大力博士论文 ON THE GRAVITATIONAL FIELDS OF MACLAURIN SPHEROID MODELS OF ROTATING FLUID PLANETS

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0004-637X/764/1/67

Hubbard最近推导了一个重要的迭代方程，用于计算Maclaurin球体的重力系数，该常数不需要在小畸变参数中进行扩展。 我们表明，当失真参数不够小时，基于Poisson方程的不完全解的迭代方程会发散。 我们基于泊松方程的完整解导出一个新的迭代方程，因此，在计算麦克劳林椭球体的重力系数时，总会收敛。
\subsection{引言}
快速旋转的流体行星或恒星的扁球形麦克劳林球体模型描述方程为

\begin{align}
	\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}&=1 \quad or\quad r=\tilde{r}(\mu)=\frac{a}{\sqrt{1+l^2\mu^2}},\label{OMSRRPSeq1}
\end{align}

其中（x，y，z）是Maclaurin球体以Z轴为旋转轴的笛卡尔坐标，$(r,\theta,\phi)$是$\mu=cos\theta$的球面极坐标，而a和b（a> b）是赤道半径和极半径。由旋转效应引起的变形参数由$\alpha$或l定义为0 =<$\alpha$<1或0 <l <$\infty$的$\alpha$=（a-b）/ a。 Hubbard（2012）推导了一个重要的迭代方程，用于计算密度为$\rho$的扁长的Maclaurin椭球体的重力系数，不需要在小畸变参数上进行扩展。建议恒定密度的迭代方法可以很容易地推广到具有恒定密度层“洋葱皮”结构的多个界面的模型。在本文中，我们显示了Hubbard（2012）推导的迭代方程中仍然隐含地需要小的变形参数，因为他的引力势扩展基于泊松方程的不完全解，因此当变形参数为不够小。我们基于泊松方程的完整解导出一个新的迭代方程，因此，在计算麦克劳林椭球体的重力系数时，总会收敛。
\subsection{哈伯德迭代方程}
众所周知（Lamb 1932），扁Maclaurin椭球体的旋转速度$\omega$通过以下公式与l相关

\begin{align}
	\omega^2&=\frac{4\pi G\rho}{3}\frac{3}{2l^3}[(3+l^2)arctanl-3l]\label{OMSRRPSeq2}\\
	l^2&=\frac{a^2-b^2}{b^2}
\end{align}

其中G是引力常数，Vg是泊松方程

\begin{align}
	\nabla^2V_g&=-4\pi G\rho,\label{OMSRRPSeq3}
\end{align}

的解，总势U是离心势Vc和重力势Vg之和，在Maclaurin球体的边界表面上必须保持恒定。为了确定Maclaurin球体的形状（即，$\alpha$或l的大小）和外部重力场，需要在外部区域$b\le r\le a$中表达重力势Vg。

Hubbard（2012）的迭代方法基于总势U的表达式，形式为

\begin{align}
	U(r,\mu)&=V_g(r,\mu)+V_c(r,\mu)\notag\\
	&=\frac{GM}{r}\left[1-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a}{r}\right)^{2k}J_{2k}P_{2k}(\mu)\right]\quad+\frac{1}{3}r^2\omega^2[1-P_2(\mu)],\label{OMSRRPSeq4}
\end{align}

其中$P_{2k}(\mu)$是勒让德多项式，且J2，J4，J6，...是区域重力系数由以下公式

\begin{align}
	J_{2k}&=-\left(\frac{3}{2k+3}\right)\frac{\int_{0}^{1}P_{2k}(\mu)[\xi(\mu)]^{2k+3}d\mu}{\int_{0}^{1}[\xi(\mu)]^3d\mu},\label{OMSRRPSeq5}\\
	\xi(\mu)&=\frac{\tilde{r}(\mu)}{a}=\frac{1}{\sqrt{1+l^2\mu^2}},\label{OMSRRPSeq6}
\end{align}

得出。通过将$U(r,\mu)$等于Maclaurin球体边界面上的赤道值U(a,0)，Hubbard（2012）得出了迭代方程：

\begin{align}
	\frac{GM}{r}\left[1-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a}{r}\right)^{2k}J_{2k}P_{2k}(\mu)\right]+\frac{1}{3}r^2\omega^2[1-P_2(\mu)]&=\frac{GM}{a}\left[1-\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a}{r}\right)^{2k}J_{2k}P_{2k}(0)\right]+\frac{1}{2}a^2\omega^2.\label{OMSRRPSeq7}
\end{align}

对于给定的旋转速度$\omega$，总质量M和赤道半径a，可以通过迭代过程求​​解方程\ref{OMSRRPSeq7}，从而确定Maclaurin椭球体的形状$\tilde{r}(\mu)$以及k = 1、2时的多极矩$J_{2k},k=1,2,3,\ldots,k_{max}$，其中$k_{max}$是扩展\ref{OMSRRPSeq4}和\ref{OMSRRPSeq7}中的截断参数。这是因为在任何实际计算中，公式\ref{OMSRRPSeq4}或\ref{OMSRRPSeq7}中的总和$\sum_{k=1}^{\infty}$必须替换为$\sum_{k=1}^{k_{max}}$。但是，对于收敛扩展，对于足够大的kmax，问题的解（例如$U(r,\mu)$）将变得独立于$k_{max}$。
\subsection{一个新的迭代方程}
我们表明，尽管方程\ref{OMSRRPSeq4}和\ref{OMSRRPSeq7}并不需要显式地扩展小畸变参数，但在由Hubbard（2012）推导的迭代方程\ref{OMSRRPSeq7}中仍隐含地要求小畸变条件。这是因为方程\ref{OMSRRPSeq4}和\ref{OMSRRPSeq7}中使用的重力Vg的扩展基于外部区域$b\le r\le a$中泊松方程\ref{OMSRRPSeq3}的不完全解，因此在变形参数不够小会发散。我们基于泊松方程\ref{OMSRRPSeq3}的完整解导出一个新的迭代方程，因此，在计算麦克劳林椭球体的重力系数时，总会收敛。

我们首先表示泊松方程\ref{OMSRRPSeq3}的解重力势Vg$（r,\mu,\phi$）如下

\begin{align}
	V_g(r,\mu,\phi)&=G\int_V\frac{\rho(r',\mu^{'})dV^{'}}{|\textbf{r-r'}|},\label{OMSRRPSeq8}
\end{align}

其中$\int_V$表示Maclaurin球体上的体积积分，r =（$r,\mu,\phi$）是位于Maclaurin球体外部的位置矢量，r'=$(r',\mu',\phi')$表示Maclaurin椭球内部的密度$\rho(r',\mu',\phi')$，且

\begin{align}
	\frac{1}{|r-r'|}&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}f(r,r')Y_l^m(\mu,\phi)Y_l^m(\mu',\phi'),\label{OMSRRPSeq9}\\
	f(r,r')&=\begin{cases}
		\frac{(r')^l}{r^{l+1}} \quad when\quad r>r',\label{OMSRRPSeq10}\\
		\frac{r^l}{(r')^{l+1}} \quad when \quad r<r'.
	\end{cases}
\end{align}

以及$Y_l^m(\mu,\phi)$是球谐函数，定义为

\begin{align}
	Y_l^m(\mu,\phi)&=\sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}P_l^m(\mu)e^{im\phi},
\end{align}

其中$i=\sqrt{-1}$且$P_l^m(\mu)$是相关的Legendre勒让德多项式。通过假设快速旋转的物体是轴对称的$\partial/\partial \phi=0$，方程\ref{OMSRRPSeq9}变为

\begin{align}
	\frac{1}{|r-r'|}&=\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}f(r,r')P_l(\mu)P_l(\mu'),\label{OMSRRPSeq11}
\end{align}

我们必须分别考虑两个不同的外部区域中的引力势$V_g(r,\mu)$，分别用$r>a$和b<r<a来标记，因为它们对泊松方程\ref{OMSRRPSeq3}具有不同形式的解。

首先考虑区域r> a中的重力势Vg，对于该重力势，仅需要扩展\ref{OMSRRPSeq11}，因此分析很简单。使用方程\ref{OMSRRPSeq11}可以很直接地表明

\begin{align}
	V_g(r,\mu)&=\rho G\int_{-1}^{+1}\int_{0}^{\tilde{r}}\left[\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\frac{(r')^l}{r^{l+1}}P_l(\mu)P_l(\mu')\right](r')^2dr'd\mu',\label{OMSRRPSeq13}
\end{align}

进行径向积分并注意到

\begin{align}
	M&=\frac{4\pi\rho}{3}\int_{0}^{1}[\tilde{r}(\mu')]^3d\mu'
\end{align}

我们得到

\begin{align}
	V_g(r,\mu)&=\frac{GM}{r}\left\lbrace 1+\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{a}{r}\right)^{2k}\left[\frac{3}{2k+3}\frac{\int_{0}^{1}P_{2k}(\mu')[\xi(\mu')]^{2k+3}d\mu'}{\int_{0}^{1}[\xi(\mu')]^3d\mu}\right]P_{2k}(\mu)\right\rbrace,\label{OMSRRPSeq14}
\end{align}

它表示域$r\ge a$的泊松方程\ref{OMSRRPSeq3}的完整解。考虑在$b\le r\le a$中用于外部域的重力势$V_g(r,\mu)$，这是推导确定Maclaurin椭球体的形状和重力场的迭代方程所需的。由于非球形几何形状，此域中的重力势$V_g(r,\mu)$比方程式\ref{OMSRRPSeq14}要复杂得多。令$r=(r,\mu)$为域$b\le r\le a$中的外部点，如图1所示。在半径r的球面和Maclaurin球体的边界面之间始终存在两个截距。由于轴对称特性，足以说明麦克劳林椭球在子午平面中的各个区域。在图1中，子午面中的两个圆由坐标为的点A和坐标为的点B标记。由此得出，与域r>a相反，b<r<a中的重力势$V_g(r,\mu)$需要四个不同扩展的求和由式（1）给出，式（15）右边第一项的积分在图1中的区域（I）上，第二项中的积分在区域（II）上，在第三项是区域（III），第四项是区域（IV）。通过进行适当的重排以及识别对称性，可以将等式（15）简化为三个展开对于外部域$r\ge a$中的Vg，其第一项与公式（4）相同。在径向上进行积分时，等式（16）右侧的第二项可以表示为

其中K0和K2k是$\mu$r的函数，定义为$\xi_0= r / a$，而$\xi=\xi(\mu')$由公式（6）给出。同样，等式（16）右边的第三项可以写成其中N0，N2和N2k是$\mu$r的函数，定义为由此得出，麦克劳林球体的外部域中的总势（表示泊松方程的完整解）由下式给出：通过将$U(r,\mu)$等于Maclaurin球体边界面上的赤道值U(a,0)，我们可以从等式（17）导出新的迭代方程，形式为对Maclaurin球体有效，没有任何限制。与Hubbard（2012）得出的迭代方程（7）相比，我们的新迭代方程（18）中有四个额外项。 放大缩小重置图像尺寸图1. Maclaurin球体中不同积分域的示意图，其中$（r,\mu$）表示域$b\le r\le a$的外点，点A具有坐标，而点B具有坐标$（r,\mu$=-$\mu$r ）。下载图： 标准图像高分辨率图像导出PowerPoint幻灯片
\subsection{讨论}
重要的是要指出，当失真参数$\alpha$或l足够小时，我们的公式（17）和（18）接近Hubbard（2012）给出的公式（4）和（7）。这是因为，换句话说，由Hubbard（2012）得出的迭代方程（7）在数学上代表了我们的迭代方程（18）的较小展平极限。我们的计算表明，当变形参数$\alpha$不够小（$\alpha$=0.29）时，Hubbard（2012）的展开式（4）和（7）会发散，因此无法产生物理上有意义的解。图2显示了对于$\alpha$= 0.35的Maclaurin椭球体，方程（17）和（18）的收敛行为与方程（4）和（7）的收敛行为的比较，显示了球面的总势Maclaurin球体是θ的函数。在收敛扩张的情况下，我们预计Maclaurin球体的边界表面上的缩放后的总势不仅保持恒定（U(a,0)/（GM / a）= 1.2622），而且与截断参数kmax无关。使用方程式（17）和（18）中的三个不同的截断点kmax = 15、20、25，我们的计算表明，图2中实线所示的缩放总势保持恒定，并且与截断参数kmax无关。使用由Hubbard（2012）给出的方程式（4）和（7）计算的缩放后的总势在与球形几何形状的偏离最大的极地区域变得强烈发散。当kmax = 15时，极性值在| U（b，1）/（GM / a）− 1.26 |较小的极小范围内振荡。 $\alpha$=0.26，如图2中的虚线所示。振荡幅度增加到| U（b，1）/（GM / a）-1.25 |。在kmax = 25时$\approx$2.3，如图2中的虚线所示。当kmax进一步增加时，发散振荡的幅度变得太大而无法在图中显示。实际上，由于方程式（4）和（7）是基于泊松方程的不完全解，因此应该可以期待它们的发散行为（请参阅Zharkov＆Trubitsyn 1978年第38节的相关讨论）。但是，我们的新迭代方程式（18）基于泊松方程式的完整解并包含四个额外项，因此始终会收敛，以计算任何实际上较大的kmax上任何Maclaurin球体的引力场。 放大缩小重置图像尺寸图2.在$\alpha$= 0.35的Maclaurin球体的标定总势U的边界表面上绘制了作为θ的函数。计算使用三个不同的截断参数kmax = 15、20、25的三个解。水平实线表示从等式（17）和（18）得出的kmax = 15，20，25的解，而其他线（kmax的虚线= 15，kmax的虚线= 20，kmax的虚线根据公式（4）和（7）计算出= 25）。
